Журнал «Травма» Том 15, №2, 2014

Статья опубликована на с. 82-87

Кровоносна система людини, що складається з артерій і вен, тісно контактує з іншими органами, зокрема з м’язами. У деяких випадках це призводить до перетискання артерії та зменшення кровотоку в ній. Тому дослідження, які б дозволили кількісно та якісно оцінити деформацію хребтової артерії, що перекривається м’язом, із подальшим визначенням гідравлічного опору, що при цьому виникає, є актуальними.

Проблема в загальному вигляді полягає у встановленні причин і наслідків негативного впливу розташованих поруч м’язів на артерії середнього розміру.

Проблема пов’язана з важливими науковими й практичними завданнями розробки радикальних методів лікування патології хребтових артерій шийного відділу людини.

У літературних джерелах наявна значна кількість результатів досліджень механіки судин та гідравліки крові [1]. Розглядаються різноманітні характеристики артерій та особливості кровотоку в них [2, 3]. Ряд публікацій присвячено вивченню особливостей зміни форми артерій шийного відділу при їх стисканні спіралеподібним м’язом [4, 5]. Досліджень, направлених на розрахунок пружно-деформованого стану артерій при їх стисканні та відповідних змін гідравлічних характеристик артерій із урахуванням специфіки руху крові, у літературних джерелах не виявлено.

До невирішених раніше частин загальної проблеми належать виявлення пружно-деформованого стану хребтової артерії, що стискається спіралеподібним м’язом, та визначення на цій основі гідравлічного опору стиснутої артерії з урахуванням специфічних особливостей руху крові.

Артерія при наявності патології являє собою складний об’єкт досліджень, що потребує неординарних методів. Доцільним є проведення міждисциплінарних досліджень фахівцями в галузі медицини та механіки. Ефективним є застосування фундаментальних положень механіки деформованого тіла та методів гідромеханіки [6].

Завданнями досліджень є встановлення особливостей геометричних, механічних та гідравлічних характеристик хребтової артерії при її стисканні спіралеподібним м’язом та визначення зміни параметрів кровотоку у звуженій артерії.

Мета роботи — встановлення напружено-деформованого стану хребтової артерії, що стискується м’язом, та визначення залежності гідравлічного опору від ступеня перекриття хребтової артерії.

Матеріал і методи

Характеристика об’єкта та предмета досліджень

Хребтові артерії належать до артерій середнього розміру. Їх діаметр знаходиться в межах 3,5–4,5 мм. Хребтові артерії розташовані паралельно сонним артеріям (рис. 1) і забезпечують подачу крові до всіх органів голови.

У нормальному стані в артерії має місце рух крові, близький до ламінарного. Швидкість руху крові в артеріях не перевищує 0,5 м/с. Артерії мають незначну конфузорність, що стабілізує течію крові й зменшує ймовірність вихроутворення. При стисненні артерій спіралеподібними м’язами спостерігається їх компресія (зменшення прохідного перетину). Це має місце на початкових ділянках артерій і спостерігається на ангіограмах (показано стрілками на рис. 1). Звуження артерій має складний просторовий характер. Для дослідження зміни форми артерії проведено математичне моделювання її напружено-деформованого стану.

Моделювання напружено-деформованого стану артерій

Хребтова артерія контактує з іншими органами, зокрема з м’язами. У випадку хребтової артерії контакт із спіралеподібним м’язом приводить до компресії (перетискання) артерії та зменшення кровотоку в ній.

Визначено напружено-деформований стан артерії, перекритої м’язом. Розрахунки проведені з використанням метода кінцевих елементів (МКЕ) [7].

Метод кінцевих елементів — технологія, що дозволяє провести аналіз напружено-деформованого стану об’єкта за його тривимірною моделлю.

МКЕ дозволяє достатньо точно визначити напрямок та величину деформацій у точках (вузлах) моделі, а також напруження, що виникають у цих точках.

Згідно з методом тривимірна модель розбивається за допомогою сітки на велику кількість кінцевих елементів. Точність моделювання залежить від кількості елементів: чим їх більше, тим вища точність.

У процесі моделювання програмний комплекс розв’язує рівняння, що описують напружено–деформований стан для кожного кінцевого елементу моделі. Результати розрахунків у більшості випадків візуалізуються.

Важливо було правильно встановити форму м’яза, що взаємодіє із артерією, схему, за якою він навантажується, а також те, яким чином він контактує з артерією. Згідно із літературними джерелами [3, 4], м’яз має спіралеподібну форму і по всій довжині прилягає до артерії та навантажується аксіально.

Для даної схеми навантаження проведено розрахунок напружено-деформованого стану артерії, що перетискається (рис. 2а).

Навантаження, що створюється м’язом, є досить значним і лежить у широких межах [3]. Воно є достатньо великим порівняно із силами жорсткості стінок артерії. Тому оцінювалися насамперед форма стінки навантаженої артерії та визначалися ділянки максимальних деформацій при різних величинах навантаження. Прийняті пружні властивості матеріалів артерії та м’яза отримані з літературних джерел [6].

При проведенні моделювання за допомогою МКЕ навантаження, що прикладалися до артерії, варіювалися. У результаті дії зовнішніх зусиль артерія набувала форми, близької до спіралеподібної, на навантаженій ділянці (рис. 2б).

Стискання артерії має місце на довжині х ≤ 40 мм. При цьому стиснений перетин повертається по гвинтовій лінії на кут ф ≤ 200°. Стискання артерії залежить від величини напруження спіралеподібного м’яза (рис. 3).

Математична обробка даних моделювання показала, яким чином змінюється форма поперечного перетину артерії залежно від навантаження. Визначено, яким чином змінюється форма поперечного перетину по довжині, та чисельно визначено цю зміну.

Форма поперечного перетину артерії при навантаженні змінюється від кругової до серпоподібної (рис. 4).

Встановлено, що найбільше відношення площ поперечного перетину нормальної артерії та зі звуженням чисельно дорівнює восьми. Довжина ділянки з максимальним звуженням становить 20 мм при загальній довжині артерії 200 мм.

Проведені дослідження дали змогу встановити, що форма поперечного перетину каналу перетиснутої артерії може бути апроксимована деформованим еліпсом серпоподібного вигляду (рис. 5).

Довжина великої осі еліпса є сталою при різних зовнішніх навантаженнях. Розмір малої осі змінюється, причому ця зміна є пропорційною до зміни площі поперечного перетину артерії.

На основі одержаних даних були проведені розрахунки гідравлічних характеристик перетиснутої артерії.

Визначення перепаду тиску в місці звуження артерії

При стисненні артерії еритроцити, що рухаються по артерії, будуть деформованими (рис. 6).

Поперечний перетин апроксимовано еліпсом із півосями a та b. Раніше показано, що при максимальному стисненні артерії площа перетину артерії зменшується у вісім разів. Тому визначити a та b можна з такої залежності:

Враховуючи, що d = 3,6 мм, знаходимо:

Для еліптичного каналу середня швидкість вираховується за такою залежністю:

де l — довжина каналу.

Для стаціонарного руху рідини при відсутності джерел маси в об’ємі рівняння збереження мас в інтегральній формі має вигляд:

Дане рівняння відповідає рівнянню нерозривності. Для еліптичного каналу з даного рівняння знаходимо витрату крові:

Втрати тиску на ділянці з максимальним звуженням:

Розрахунок згідно з формулою (6) для значень параметрів (2) дає значення перепаду тиску на деформованій ділянці артерії:

Втрати напору при звуженні та розширенні каналу є незначними. Порівнявши знайдене значення втрат напору для звуженої артерії із втратами напору по довжині в артерії без компресії, що не перевищують 2–3 мм рт.ст., згідно з літературними джерелами [2], а також із проведеними попередніми розрахунками, можна зробити висновок, що гідравлічні втрати значно стиснутої артерії збільшуються в 10–20 разів.

Проведено порівняння отриманих результатів із наявними в літературних джерелах [8], що підтвердило вірогідність проведених розрахунків.

Розрахунки проведено для артерій із різними площами поперечного перетину. Результати подані у вигляді залежності втрат напору від площі поперечного перетину каналу (крива 1 на рис. 7).

Результати гідравлічних розрахунків підтверджують значне зростання гідравлічного опору при зменшенні площі поперечного перетину артерії в 5–8 разів.

Гідравлічні втрати в основному обумовлюються звуженою ділянкою артерії, що апроксимована еліпсом або щілиною, й набагато меншою мірою — звуженням і розширенням потоку та ін.

Розрахунки гідравлічного опору проведені на основі геометричних параметрів, отриманих МКЕ. Це насамперед форма поперечного перетину у місцях із середнім та максимальним стисненням артерії та закрутка криволінійного каналу по довжині артерії.

Як показано раніше (рис. 5), звужена ділянка артерії має вигляд гвинтового каналу. Тому в артерії має місце гвинтовий рух крові, що збільшує гідравлічний опір стисненої ділянки. Кручення каналу визначене в результаті розрахунку напружено-деформованого стану артерії. У гвинтовому каналі має місце переміщення еритроцитів із набуттям ними обертового руху (рис. 8).

Для визначення додаткового перепаду тиску, обумовленого гвинтовим рухом крові, використаємо рівняння зміни моменту кількості руху. Воно встановлює співвідношення між моментами кількості руху елементів рідкого середовищі й має такий вигляд [9]:

де знак x означає векторний добуток векторів; r^p — радіус-вектор довільної точки в середині контрольного об’єму W; p — середня густина крові.

Інтеграл у правій частині формули (7) обчислено наближено. Прийнято, що стиснутий перетин артерії має невелику товщину. Для контрольного об’єму одиничної довжини маємо:

де R — середній радіус стисненого перетину відносно осі артерії, S — площа стисненого перетину; y — кут нахилу гвинтової траєкторії руху крові в стисненому перетині; і^p — орт дотичної в циліндричній системі координат.

Для обчислення інтеграла в лівій частині рівняння визначимо похідну швидкості у вигляді [10]:

Проекція інтеграла в правій частині (8) на напрямок дотичної:

Прирівнявши праві частини (8) і (9), визначимо перепад тиску, обумовлений гвинтовим рухом крові залежно від витрати:

                                        .                 

Розрахунки за формулою (10) наведені в графічному вигляді (крива 2 на рис. 7). Із порівняння графіків випливає, що гвинтовий рух потоку крові дещо підвищує втрати напору. Особливо це проявляється при значних стисненнях артерії. При помірному стисненні гвинтовий рух підвищує перепад тиску на 10–15 %.

Висновки

1. У результаті розрахунку напружено-деформованого стану ділянки хребтової артерії, деформованої спіралеподібним м’язом, встановлено, що перетин артерії набуває серпоподібної форми довжиною близько 4 мм та шириною близько 0,5 мм, а сама артерія утворює гвинтовий криволінійний канал довжиною 18–22 мм, що відповідає кроку гвинтової лінії та має вхідну ділянку звуження (конфузорності) та вихідну ділянку розширення (дифузорності) довжиною близько 10 мм кожна.

2. На основі розрахунку основних параметрів еритроцита встановлено, що він має три рівні за об’ємом та площею мембрани конфігурації: двояковвігнутий диск, сплюснутий та витягнутий еліпсоїди обертання. При цьому при незначних напруженнях зсуву в рухомій крові, що характерні для течії в артерії без стиснення, еритроцит набуває форми, близької до сплюснутого еліпсоїду, а при великих напруженнях зсуву, що характерні для місця звуження артерії, його форма буде близькою до витягнутого еліпсоїду обертання.

3. Показано, що при невеликих напруженнях зсуву еритроцит обертається, а при значних напруженнях він перестає обертатися, а його мембрана здійснює інтенсивний циркуляційний рух відносно малорухомого рідкого вмісту еритроцита. Цим забезпечується рух крові з характеристиками, близькими до ламінарного, та стабілізується течія в пристінному шарі, унеможливлюючи вихроутворення та відрив потоку крові від стінки артерії на дифузорній ділянці звуження.

4. Визначено, що при деформації артерії, що відповідає зменшенню її площі в 5–8 разів, різко зростає перепад тиску на стиснутій ділянці. При цьому перепад тиску може сягати 20 мм рт.ст. і вище, що в десятки раз перевищує перепад тиску в артерії без стиснення. Наявність гвинтового каналу при стисненні підвищує перепад тиску на 10–15 %.

5. Як напрямок подальших досліджень рекомендується визначити гідравлічні характеристики всього комплексу артерій шийного відділу людини, врахувавши при цьому можливість компресії обох хребтових артерій.